A fórmula ficou estranha? Vamos desenhar isso.

Quatro maneiras de dizer f(x) = x²

A função f(x) = x² pode aparecer-te de quatro formas. Como fórmula, claro. Como tabela: para x = −2, −1, 0, 1 e 2, os valores são 4, 1, 0, 1 e 4. Como gráfico: uma parábola com o ponto mais baixo na origem. E como frase: «a cada número faz corresponder o seu quadrado, por isso o resultado nunca é negativo».

Cada uma mostra uma coisa diferente. A tabela deixa ver a simetria (4, 1, 0, 1, 4 lê-se igual dos dois lados). O gráfico mostra a função a descer e depois a subir. A frase explica porque não há valores abaixo de zero. A fórmula é a única que te dá qualquer valor em segundos: f(1,5) = 2,25, sem desenhar nada.

Isto não é capricho de quem escreve testes. As Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano pedem que se trabalhem as funções com tabelas, gráficos e expressões analíticas, e que as funções quadráticas se estudem «gráfica e analiticamente». A matéria está desenhada para saltares de uma representação para outra.

Porque é que a mesma ideia, desenhada, se percebe melhor

Richard Mayer passou anos a testar explicações com e sem imagens, por exemplo sobre a forma como se formam os relâmpagos. Chamou ao resultado princípio multimédia: aprende-se melhor com palavras e imagens juntas do que só com palavras. Nas experiências que reuniu, quem recebia as duas coisas resolvia melhor problemas novos, e o ganho parecia maior em quem sabia menos do tema.

Shaaron Ainsworth, que estuda a aprendizagem com múltiplas representações, ajuda a perceber o mecanismo e também o preço. Várias representações podem completar-se (cada uma mostra o que a outra não mostra), uma pode ajudar a interpretar a outra (o gráfico dá sentido à fórmula) e, quando o aluno as relaciona, a compreensão fica mais profunda. O preço é que isso dá trabalho: é preciso perceber cada representação e a forma como se ligam, e essa ligação não acontece sozinha.

Acontece muito: o aluno sabe fazer a tabela e sabe desenhar a parábola, mas não liga o 4 da tabela ao ponto (2, 4) do gráfico. O trabalho que vale a pena é essa tradução: apontar para um número e dizer «é aquele ponto ali».

Como ler o gráfico de uma função quadrática

Lê o gráfico da esquerda para a direita, como uma estrada. Em f(x) = x², a estrada desce até x = 0 e sobe a partir daí. Em linguagem de teste: f é decrescente em ]−∞, 0] e crescente em [0, +∞[.

O ponto onde a estrada muda de sentido é o vértice, aqui (0, 0). Como a concavidade está voltada para cima (o coeficiente de x² é positivo), o vértice é um mínimo: o valor mínimo é 0. A reta vertical que passa por ele, x = 0, é o eixo de simetria.

Os zeros são os pontos onde a parábola toca ou corta o eixo das abcissas, ou seja, onde f(x) = 0. Em x² só há um, x = 0. E o contradomínio, os valores que a função atinge, é [0, +∞[.

Fica com esta lista para qualquer parábola: concavidade, vértice, eixo de simetria, zeros, onde decresce e onde cresce, contradomínio. Respondidas estas seis perguntas, o gráfico está lido.

E quando a parábola muda de sítio

Volta a g(x) = (x − 2)² − 1 e faz a tabela para x = 0, 1, 2, 3 e 4. Dá 3, 0, −1, 0 e 3. Repara no padrão: é o 4, 1, 0, 1, 4 de x², com cada valor uma unidade abaixo e tudo deslocado duas casas para a direita. A forma da parábola é a mesma, só que o vértice passou para (2, −1). Na linguagem das transformações geométricas, é uma translação associada ao vetor (2, −1).

Porque é que vai para a direita, se lá dentro está um menos? Em x², o valor mais baixo aparece quando x = 0. Em (x − 2)², para o parêntese dar 0 precisas de x = 2. A função chega ao mesmo valor «mais tarde», ou seja, mais à direita. Com a tabela à frente, já não há regra para decorar: vê-se.

Agora lê o gráfico de g: decresce em ]−∞, 2], cresce em [2, +∞[, tem mínimo −1, zeros 1 e 3 e contradomínio [−1, +∞[. E há um bónus. Se desenvolveres, (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 4 − 1 = x² − 4x + 3, que também se escreve (x − 1)(x − 3). É a mesma função em três formas: uma mostra o vértice, outra mostra os zeros e a terceira mostra que o gráfico corta o eixo das ordenadas em 3. Até dentro da álgebra as representações se completam.

Como treinar este olhar

Sempre que te aparecer uma função nova, faz três coisas rápidas: uma tabela com cinco valores, um esboço à mão e uma frase. Por exemplo: «decresce até 2, cresce depois e nunca fica abaixo de −1». Se não consegues escrever a frase, ainda há uma ligação por fazer.

A calculadora gráfica e o GeoGebra ajudam muito, e as próprias Aprendizagens Essenciais recomendam a tecnologia gráfica. O truque é prever antes de carregar no botão: esboça primeiro, confirma depois. No quadro da ExplicaJá podes fazer a tua tabela e o teu esboço e pedir à Explica que percorra contigo, passo a passo, o vértice, os zeros e a monotonia. Ela também se pode enganar: se alguma coisa não bater certo com a tua tabela, pede-lhe que reveja.