A Lua está sempre a cair (e nunca chega cá abaixo)
A Lua cai para a Terra a toda a hora, mas anda tão depressa de lado que nunca lhe acerta. Newton mostrou-o com uma conta que cabe num caderno.
Regresso a casa de autocarro, fim de tarde de outubro, e a Lua lá em cima, enorme, por cima dos prédios. Se a gravidade da Terra puxa tudo, das maçãs às chaves que nos fogem da mão no passeio, porque é que a Lua não nos cai em cima? É uma das melhores perguntas que se podem fazer no 11.º ano, e a resposta tem uma reviravolta: a Lua cai. Está a cair agora mesmo, enquanto lês isto. Só que anda tão depressa de lado que nunca chega cá abaixo.
Cair não é o mesmo que chegar ao chão
Em Física, um corpo está em queda livre quando a única força que atua sobre ele é a força gravítica. A definição não diz nada sobre bater no chão. Uma bola atirada na horizontal de uma janela também está em queda livre: avança e cai ao mesmo tempo, e a trajetória curva-se.
A Lua está nessa situação. Na física que usas no 11.º ano, a única força relevante sobre ela é a atração da Terra, sempre dirigida para o centro da Terra. (O Sol também a puxa, mas puxa a Terra quase da mesma maneira, por isso, para estudar a Lua à volta da Terra, podemos deixá-lo de fora.) Uma força perpendicular à velocidade não torna o movimento mais rápido nem mais lento, só lhe muda a direção. É a receita do movimento circular uniforme.
Sem essa força, a Lua seguiria em linha reta, como diz a primeira lei de Newton. Com ela, a cada instante a Lua é desviada da linha reta em direção à Terra. Esse desvio é a queda.
O canhão de Newton: lançar tão depressa que o chão foge
Newton explicou isto com uma experiência mental que pôs logo nas primeiras páginas dos Principia, publicados em 1687. Imagina uma bala disparada na horizontal do cimo de uma montanha. Com pouca velocidade, cai perto. Com mais velocidade, cai mais longe. Com velocidade suficiente, escreveu Newton, podia dar a volta à Terra inteira antes de cair. O desenho famoso do canhão na montanha aparece noutro texto seu, O Sistema do Mundo, publicado depois da sua morte.
Os números tornam a ideia quase palpável. Um corpo largado do repouso cai 4,9 m no primeiro segundo (d = ½ g t², com g = 9,8 m/s²). Por outro lado, a superfície da Terra é curva: ao longo de 8 km, afasta-se cerca de 5 m da horizontal. Portanto, se a bala andasse uns 8 km por segundo, cairia 5 m em cada segundo e o chão fugir-lhe-ia outros 5 m. Ficaria sempre à mesma altura, a cair para sempre, desde que não houvesse ar nem montanhas pelo caminho.
A conta exata dá v = √(g R) ≈ 7,9 km/s, com R = 6,37 × 10⁶ m, e uma volta completa demoraria cerca de 84 minutos. É o princípio que mantém os satélites em órbita: estão todos a cair, e todos a falhar o chão.
Se a Lua parasse de repente na órbita (velocidade zero), o que acontecia?
No quadro, a Explica fica com o exercício escrito e espera que carregues em enviar. Há perguntas grátis para experimentar.
A Lua anda de lado a mais de mil metros por segundo
Agora os números da Lua, tirados da ficha da NASA: o raio médio da órbita é de cerca de 3,84 × 10⁸ m e uma volta completa, em relação às estrelas, demora 27,3 dias, ou seja, cerca de 2,36 × 10⁶ s. A órbita é ligeiramente elíptica, mas tratá-la como um círculo é uma simplificação muito razoável.
A velocidade é o perímetro da órbita a dividir pelo período: v = 2πr/T ≈ 1,02 × 10³ m/s. A Lua percorre pouco mais de um quilómetro por segundo. No movimento circular uniforme, a aceleração aponta para o centro e vale a = v²/r = 4π²r/T² ≈ 2,72 × 10⁻³ m/s².
Repara no tamanho disto. Em cada segundo, a Lua avança cerca de um quilómetro e afasta-se da linha reta, em direção à Terra, uns 1,4 milímetros. Um quilómetro de lado, menos de milímetro e meio para baixo. É uma queda minúscula, mas nunca para, e é ela que fecha o círculo.
O teste da Lua: a conta que ligou a maçã ao céu
Newton desconfiava que a força que segura a Lua era a mesma que faz cair uma maçã, só que mais fraca com a distância. Se a força diminui com o quadrado da distância, basta comparar distâncias. A Lua está a cerca de 3,84 × 10⁸ m do centro da Terra e o raio da Terra é de 6,37 × 10⁶ m: a razão é de cerca de 60.
Então, lá em cima, a aceleração gravítica devia ser 60² = 3600 vezes menor do que à superfície: g/3600 = 9,8/3600 ≈ 2,72 × 10⁻³ m/s². É o valor que obtivemos a partir do movimento da Lua. Duas contas com dados sem nada em comum, uma feita com o período da órbita e outra com a queda dos objetos na Terra, dão o mesmo número.
Newton fez esta comparação no Livro III dos Principia, com as unidades do seu tempo. Concluiu que, num minuto, a Lua cai cerca de 15 pés de Paris (uns 4,9 m), praticamente o que um corpo cai junto ao chão num segundo. Podes confirmar: ½ × 2,72 × 10⁻³ × 60² ≈ 4,9 m. Um minuto lá em cima, um segundo cá em baixo, porque a aceleração é 3600 vezes menor e 60² = 3600.
Se usares a razão mais precisa, 60,3, a previsão fica em 2,69 × 10⁻³ m/s², cerca de 1 % abaixo. A diferença vem das simplificações que fizemos: a órbita não é um círculo perfeito e a Terra também se move à volta do centro de massa do par Terra-Lua. Para uma conta de caderno, é um acordo espantoso.
Da Lua para o teu teste
Esta história é matéria de exame. As Aprendizagens Essenciais de Física e Química A do 11.º ano pedem que apliques as leis de Newton e a Lei da Gravitação Universal, enquadrando as descobertas no seu contexto histórico, e que as uses no movimento circular e uniforme de satélites.
A estratégia é quase sempre a mesma: a força gravítica é a resultante, por isso G M m / r² = m v² / r. A massa do satélite cancela-se, tal como na queda livre, e ficas com uma relação entre a massa do planeta, o raio da órbita e a velocidade (ou o período). Quando um exercício te pedir a velocidade de um satélite, estás a fazer o canhão de Newton com números.
Na próxima noite de Lua, olha para ela uns segundos e lembra-te de que está a cair, a mais de um quilómetro por segundo de lado, desde muito antes de haver alguém para perguntar porquê. A mesma conta que explica a maçã explica-a a ela.
Perguntas frequentes
Porque é que a Lua não cai na Terra?
A Lua está sempre a cair em direção à Terra, mas move-se de lado a cerca de 1 km/s. Enquanto cai, avança o suficiente para que a Terra fique sempre «por baixo» dela, e o resultado é uma órbita quase circular. Se a Lua não tivesse essa velocidade, cairia mesmo na Terra.
A Lua está em queda livre?
Sim. Um corpo está em queda livre quando a única força relevante que atua sobre ele é a gravítica, e é o caso da Lua na descrição simplificada do 11.º ano. Queda livre não significa cair a direito nem chegar ao chão, significa que a gravidade é a única força em jogo.
Qual é a aceleração da Lua em torno da Terra?
Cerca de 2,7 × 10⁻³ m/s², calculada com a = 4π²r/T², usando o raio da órbita (3,84 × 10⁸ m) e o período sideral (27,3 dias). É aproximadamente g/3600, porque a Lua está a cerca de 60 raios terrestres do centro da Terra e a força gravítica diminui com o quadrado da distância.
O que é o canhão de Newton?
É uma experiência mental descrita por Newton: uma bala disparada na horizontal do alto de uma montanha cai cada vez mais longe à medida que a velocidade aumenta. Com velocidade suficiente, cerca de 7,9 km/s junto à superfície e sem ar, a superfície da Terra curva-se tanto quanto a bala cai, e a bala fica em órbita.
De onde vem o que dissemos
- Newton, I. (1687). Philosophiæ naturalis principia mathematica. Londres: Royal Society. Tradução inglesa de A. Motte, The mathematical principles of natural philosophy (edição de 1846), Definição V e Livro III, Proposição IV.Na Definição V está a bala disparada do cimo de uma montanha que pode dar a volta à Terra; no Livro III, Proposição IV, está o teste da Lua (60 raios terrestres, cerca de 15 pés de Paris num minuto contra o mesmo num segundo à superfície); usamo-lo na segunda e na quarta secções.
- Williams, D. R. (2024). Moon fact sheet. NASA Goddard Space Flight Center, National Space Science Data Center.Valores oficiais da órbita da Lua (semieixo maior de 384 400 km, período sideral de 27,3217 dias, velocidade orbital média de 1,022 km/s, excentricidade de 0,0549) e do raio médio da Terra (6371 km); usamo-lo em todas as contas.
- Direção-Geral da Educação (2018). Aprendizagens Essenciais: articulação com o Perfil dos Alunos. 11.º ano, Ensino Secundário, Física e Química A.Documento oficial que pede a aplicação das leis de Newton e da Lei da Gravitação Universal com enquadramento histórico, e da Lei Fundamental da Dinâmica ao movimento circular e uniforme de satélites; usamo-lo na última secção.
No currículo: Física e Química A, 11.º ano. Gravitação e movimento circular.
