Um exemplo chega para provar? Depende do que afirmas.
Os números 3, 5 e 7 são primos ímpares. E o 2? Descobre a diferença entre testar e provar, com contraexemplos simples e um desafio.
Experimentaste três números e a regra funcionou sempre. Dá vontade de escrever «logo, é verdade». Antes desse salto, deixa entrar um convidado que talvez não estivesse na lista.
O 2 pede licença para estragar a festa
Olha para 3, 5, 7 e 11. Todos são primos e todos são ímpares. Se esta fosse a tua primeira coleção de números primos, a frase «todos os números primos são ímpares» poderia parecer bastante convincente. Os exemplos apoiam a ideia, mas ainda não cobrem todos os casos.
Entra o 2. É primo porque tem exatamente dois divisores naturais positivos: 1 e 2. É par porque é divisível por 2. Cumpre a condição da frase, ser primo, mas falha a conclusão, ser ímpar. Acabaste de encontrar um contraexemplo.
Não precisas de descobrir cem primos pares. A frase dizia «todos», e um caso contrário já chega para mostrar que essa frase é falsa. A força do contraexemplo vem da lógica da afirmação, não do tamanho do número nem da quantidade de exemplos anteriores.
Repara também numa diferença útil: o número 4 não serviria para fazer este trabalho. É par, mas não é primo, por isso está fora dos casos de que a frase fala. Um contraexemplo não é um número escolhido ao acaso; tem de entrar pela porta das condições.
Experimenta, 20 segundosPara contrariar «todos os múltiplos de 4 são pares», bastava escolher o número 3?Ver a resposta
Não. O número 3 é ímpar, mas não é múltiplo de 4. Está fora das condições da afirmação e não pode ser um contraexemplo.
A palavra «todos» muda o tamanho da tarefa
Compara «há um número primo par» com «todos os números primos são ímpares». Para justificar a primeira frase, basta apresentar o 2 e explicar as suas propriedades. Para justificar a segunda, terias de garantir a conclusão para cada número primo, sem deixar casos esquecidos.
Testar 3, 5 e 7 pode ajudar a formular uma conjetura, uma ideia que vale a pena investigar. Acrescentar 11, 13 e 17 torna a coleção maior. Não transforma, por si só, a verificação de alguns casos numa justificação que abranja todos os números primos.
Também não encontrar rapidamente um contraexemplo prova que ele não existe. Talvez tenhas procurado numa coleção demasiado pequena ou só em números parecidos. Em Matemática, «ainda não encontrei um problema» é uma descrição da tua procura, não uma garantia sobre todos os casos possíveis.
Quando leres uma afirmação, começa por localizar palavras como «todos», «algum», «sempre» e «existe». Depois identifica de que objetos se fala. Esta leitura costuma ser mais útil do que correr imediatamente para uma conta: primeiro decides o que precisarias de mostrar para responder.
O que diz a investigaçãoDe onde vem esta ideia, para quem quer saber mais
Zazkis e Chernoff estudaram dois episódios de interação com futuros professores e analisaram como certos contraexemplos podem ajudar a reconhecer e resolver uma contradição. O trabalho não diz que mostrar um caso inesperado produz automaticamente compreensão; a discussão do seu significado é importante.
Qual destes valores refuta «x² é sempre maior ou igual a x, para qualquer número real x»?
No quadro, a Explica fica com o exercício escrito e espera que carregues em enviar. Há minutos grátis de tempo activo da Explica para experimentar.
Experimenta um número que não se parece com os outros
Considera agora esta afirmação: «qualquer número positivo fica maior quando é elevado ao quadrado». Experimentas 2 e obténs 4; experimentas 3 e obténs 9. Os dois casos funcionam, mas pertencem à mesma zona da reta numérica: são maiores do que 1.
Escolhe 0,5. É um número positivo, portanto está dentro das condições. O seu quadrado é 0,5 × 0,5 = 0,25, que é menor do que 0,5. Este caso não é apenas uma exceção curiosa: contradiz a conclusão da frase tal como foi escrita.
Podes visualizar a conta num quadrado de lado 1. Metade da largura e metade da altura delimitam um quadrado com um quarto da área inicial. O desenho ajuda a compreender por que multiplicar por uma quantidade entre 0 e 1 pode diminuir o valor, em vez de o aumentar.
Ao procurar um contraexemplo, varia a coleção com intenção. Se só tentaste inteiros positivos, experimenta uma fração. Se a afirmação permite zero ou números negativos, verifica-os também. Não há uma lista mágica que resolva tudo; há condições a respeitar e possibilidades que podem ter ficado de fora.
Experimenta, 20 segundosO número 1 também contraria «elevar qualquer número positivo ao quadrado torna-o maior»?Ver a resposta
Sim. Um é positivo e 1² = 1, que não é maior do que 1. A igualdade já contradiz a palavra «maior».
Uma regra falsa pode dar origem a uma pergunta melhor
Depois de encontrar 0,5, podes perguntar: para que números positivos é verdade que o quadrado é maior do que o próprio número? Já não estás apenas a apontar uma falha. Estás a procurar as condições que separam os casos, e isso pode abrir a parte mais interessante do exercício.
Uma versão correta é «se x for maior do que 1, então x² é maior do que x». Podemos justificar sem experimentar todos os valores: x² − x = x(x − 1). Quando x > 1, os dois fatores são positivos; o produto é positivo e, portanto, x² > x.
Entre 0 e 1 acontece o contrário: multiplicar um número positivo por um fator menor do que 1 dá uma parte desse número. Em x = 1, há igualdade. A fronteira não apareceu por termos feito muitas contas, mas por compreendermos o papel do fator e das condições.
Não precisas de dominar já todas estas expressões para começar. Podes organizar exemplos numa tabela, marcar os valores numa reta e explicar o que cada região sugere. Se a matéria já incluir gráficos, comparar y = x e y = x² é outra maneira de investigar a mesma questão.
O que diz a investigaçãoDe onde vem esta ideia, para quem quer saber mais
As Aprendizagens Essenciais de Matemática do 7.º ano distinguem testar e validar uma conjetura e incluem o recurso a contraexemplos. É uma orientação curricular para aprender a justificar, não uma promessa de resultados de uma atividade específica.
Pede à explicação que resista a um teste
No quadro do ExplicaJá, podes escrever uma afirmação e pedir um caso que a teste. Acrescenta uma condição importante ao pedido: queres perceber por que o exemplo pertence aos casos permitidos e em que ponto contradiz a conclusão. Assim, não recebes apenas um número com ar de resposta final.
Depois tenta fazer o caminho inverso. Constrói tu uma afirmação falsa e um contraexemplo válido. Escreve as condições, confirma que o teu caso as satisfaz e compara a conclusão prevista com o que realmente acontece. Estas três verificações mantêm a atividade ligada ao raciocínio, em vez de a transformar numa caça ao truque.
Se a Explica ou um colega der uma justificação que não te convence, pede para separar os casos testados da razão geral. Uma conta certa pode apoiar uma ideia sem a provar. Questionar esse salto é uma maneira de estudar com cuidado, não uma falta de confiança em quem explica.
Guarda a conclusão com as palavras certas. «Esta afirmação é falsa porque...» pede um contraexemplo explicado. «Esta afirmação é verdadeira para todos estes casos porque...» pede uma justificação que os cubra. Saber qual destas tarefas tens à frente ajuda a escolher tanto os exemplos como a forma da resposta.
Perguntas frequentes
Qualquer exemplo que não funciona é um contraexemplo?
Só se respeitar as condições da afirmação e contradizer a conclusão. Um número que está fora do conjunto em estudo não permite refutar uma regra sobre esse conjunto.
Muitos exemplos certos nunca servem para provar?
Servem para explorar e testar ideias. Se houver apenas um número finito de casos e todos forem verificados de forma completa, essa verificação pode constituir uma justificação por exaustão; testar alguns casos não chega.
Uma afirmação falsa deve ser abandonada?
A frase original não pode ser apresentada como verdadeira, mas investigar as condições em que funciona pode levar a uma afirmação mais precisa e a uma justificação útil.
De onde vem o que dissemos
- Zazkis, R., & Chernoff, E. J. (2008). What makes a counterexample exemplary? Educational Studies in Mathematics, 68, 195–208.Analisa dois episódios e o papel de exemplos que ajudam a reconhecer e discutir contradições; sustenta a importância de interpretar o contraexemplo.
- Direção-Geral da Educação (2021). Aprendizagens Essenciais de Matemática, 7.º ano, raciocínio matemático.Distingue testar de validar conjeturas e inclui contraexemplos entre as formas de justificação; fundamenta a ligação ao currículo português.
No currículo: Matemática, 7.º e 8.º anos. Conjeturas, números racionais e justificação.
