O erro da semana: o x que desapareceu
Resolver x² = 3x dividindo por x faz desaparecer a solução x = 0. Vê porquê, o caminho certo com a lei do anulamento do produto e como confirmar.
Começa hoje uma rubrica nova no blog da ExplicaJá. Todas as semanas escolhemos um erro que aparece vezes sem conta no quadro, pomo-lo em cima da mesa e desmontamo-lo peça a peça, sem julgamentos e com algum prazer, confessamos. Para a estreia escolhemos um clássico do 9.º ano: a equação x² = 3x, resolvida em duas linhas elegantes que perdem uma solução pelo caminho. O suspeito tem nome. É o x que desapareceu.
O crime: duas linhas bonitas e uma solução a menos
A resolução costuma ser esta. Temos x² = 3x. Há um x de cada lado, por isso divide-se tudo por x e fica x = 3. Confirma-se: 3² = 9 e 3 × 3 = 9. Está certo, e segue-se para o exercício seguinte com a consciência tranquila.
Só que x = 3 não é a única solução. Experimenta x = 0: do lado esquerdo, 0² = 0; do lado direito, 3 × 0 = 0. Também funciona. A equação tem duas soluções e a resolução acima encontrou uma. A outra não estava errada nem escondida. Foi apagada no momento exato em que dividimos por x.
Já vimos este erro muitas vezes no quadro, e ele tem uma característica traiçoeira: a resposta que sobra está certa. A verificação bate, a conta parece limpa e nada denuncia que falta alguém. No teste, a resposta fica incompleta e ninguém dá pela falta até a correção chegar.
Porque é que não se pode dividir por x
Que não se divide por zero, já sabes. O problema é que x é uma incógnita: no momento em que divides por x, ainda não sabes quanto vale, e pode valer exatamente zero. Dividir os dois membros por x é assumir, sem o dizer, que x não é zero. Ora, era precisamente esse o caso que faltava.
Um exemplo mostra porque é que a regra existe. A igualdade 0 × 5 = 0 × 7 é verdadeira, porque os dois lados dão zero. Se dividíssemos os dois membros por zero, ficava 5 = 7, o que é falso. Dividir por zero não simplifica nada, estraga. Com x passa-se o mesmo, só que disfarçado de letra.
Então nunca se pode dividir por x? Pode, desde que trates à parte o caso x = 0, e há quem o faça bem. Mas existe um caminho mais seguro, que não depende de te lembrares de nada às onze da noite antes do teste.
Quais são as soluções de 2x² = 8x?
No quadro, a Explica fica com o exercício escrito e espera que carregues em enviar. Há perguntas grátis para experimentar.
O caminho que não perde ninguém: a lei do anulamento do produto
Em vez de dividir, passa tudo para o mesmo membro: x² − 3x = 0. Os dois termos têm um x em comum, que se põe em evidência: x(x − 3) = 0. Ficou um produto igual a zero, e para isso há uma ferramenta própria.
É a lei do anulamento do produto: um produto é zero se, e só se, pelo menos um dos fatores for zero. Portanto, x = 0 ou x − 3 = 0, o que dá x = 0 ou x = 3. O conjunto-solução é {0, 3}. As duas soluções aparecem sem esforço, porque nenhum passo deitou uma delas fora.
Esta lei faz parte das Aprendizagens Essenciais de Matemática do 9.º ano, que pedem que se conheça e aplique na resolução de equações do 2.º grau incompletas. O documento sugere até que os alunos analisem, em pares ou em grupo, resoluções que aplicam a lei de forma correta e incorreta. E um dos problemas de exemplo pergunta qual é o número cujo triplo do quadrado é igual ao quádruplo, ou seja, 3x² = 4x. Quem dividir por x encontra 4/3 e perde o zero. Por outras palavras, o currículo já conta com este erro.
Confirmar na equação de partida, e o que a verificação não apanha
Depois de resolver, substitui cada solução na equação inicial, não numa das linhas intermédias. Para x = 0: 0² = 0 e 3 × 0 = 0. Para x = 3: 3² = 9 e 3 × 3 = 9. As duas confirmam. Usa a equação de partida porque, se um passo intermédio estiver errado, as linhas seguintes herdam o erro e a verificação feita nelas engana-te.
Há aqui uma subtileza que convém guardar. A verificação apanha soluções que não servem, mas não te avisa de soluções que faltam. Quem resolveu por divisão e testou x = 3 viu tudo bater certo. Por isso, o hábito completo tem duas partes: confirmar o que encontraste e, sempre que dividires por uma expressão com a incógnita, perguntar «e se isto for zero?».
Um truque que não custa nada: nas equações sem termo independente, como x² = 3x, o zero é sempre solução. Se não estiver na tua resposta, desapareceu alguém. Mais tarde vais encontrar o problema ao contrário, por exemplo quando elevares ao quadrado os dois membros de uma equação, que é um passo capaz de acrescentar soluções falsas. Aí, verificar na equação inicial deixa de ser um bom hábito e passa a ser obrigatório.
Porque é que um erro destes merece uma rubrica
Há erros que aparecem uma vez e vão embora, e há erros que ficam. Julie Booth e colegas analisaram as resoluções de alunos de Álgebra em vários momentos do ano letivo e concluíram que diferentes tipos de erro ganham destaque com diferentes conteúdos, e que certos erros, em certas matérias, anunciam dificuldades mais tarde. Os autores discutem também quando vale a pena intervir em cada um.
Janet Metcalfe, numa revisão sobre aprender com os erros, defende que, se o objetivo é estar no ponto nos momentos que contam, pode valer a pena deixar os alunos cometer e corrigir erros em situações de baixo risco, em vez de os evitar a todo o custo. Traduzindo para a vida real: é muito melhor perderes o zero num TPC de terça do que no teste de quinta.
É essa a ideia desta rubrica. Cada semana, um erro, explicado com calma, com a versão certa ao lado e um desafio pequeno para fechar. Se este te pareceu familiar, leva uma equação parecida para o quadro da ExplicaJá e pede à Explica que a resolva contigo passo a passo. Ao fim de umas semanas, a ideia é reconheceres estes erros antes de eles te reconhecerem a ti.
Perguntas frequentes
Porque é que não se pode dividir os dois membros de uma equação por x?
Porque x pode valer zero, e dividir por zero não é permitido. Ao dividir por x, assume-se sem o dizer que x é diferente de zero, e se x = 0 for solução perde-se. A alternativa segura é passar tudo para um membro e fatorizar.
O que diz a lei do anulamento do produto?
Diz que um produto é igual a zero se, e só se, pelo menos um dos fatores for zero. É assim que se passa de x(x − 3) = 0 para x = 0 ou x = 3. Faz parte das Aprendizagens Essenciais de Matemática do 9.º ano.
Como se resolve a equação x² = 3x?
Escreve-se x² − 3x = 0, põe-se x em evidência, x(x − 3) = 0, e aplica-se a lei do anulamento do produto: x = 0 ou x = 3. O conjunto-solução é {0, 3}. Substituir cada valor na equação inicial confirma as duas soluções.
Verificar as soluções garante que não falta nenhuma?
Não. Substituir na equação inicial mostra se uma solução encontrada está certa, mas não avisa se outra se perdeu. Para não perder soluções, é preciso evitar dividir por expressões que podem valer zero ou tratar esse caso à parte.
De onde vem o que dissemos
- Direção-Geral da Educação. (2021). Aprendizagens Essenciais: Articulação com o Perfil dos Alunos. Matemática, 9.º ano, 3.º ciclo do ensino básico. Homologadas pelo Despacho n.º 8209/2021.Documento oficial que inclui «Conhecer e aplicar a lei do anulamento do produto» na resolução de equações do 2.º grau incompletas, sugere analisar aplicações corretas e incorretas da lei e dá o exemplo do triplo do quadrado igual ao quádruplo (p. 23).
- Booth, J. L., Barbieri, C., Eyer, F., & Pare-Blagoev, E. J. (2014). Persistent and pernicious errors in algebraic problem solving. The Journal of Problem Solving, 7(1), Article 3.Análise de erros de alunos de Álgebra ao longo do ano letivo: diferentes erros ganham destaque com diferentes conteúdos e alguns, em certas matérias, anunciam dificuldades mais tarde; usamos para explicar porque é que certos erros merecem atenção dedicada.
- Metcalfe, J. (2017). Learning from errors. Annual Review of Psychology, 68, 465–489.Revisão que conclui que cometer erros em situações de baixo risco e recebê-los corrigidos beneficia a aprendizagem; usamos na justificação da rubrica e na secção para os pais.
No currículo: Matemática, 9.º ano. Equações do 2.º grau.
