O sinal de menos não desapareceu. Só mudou de sítio.
Em 3 − 2(x − 4) = 11, o −2 multiplica o x e o −4 e dá +8. Vê de onde vem cada sinal e porque «passa para o outro lado» engana.
Mais um erro da semana, e este cabe num sinal. Em 3 − 2(x − 4) = 11, muita gente abre o parêntese, escreve 3 − 2x − 8 = 11 e segue em frente com uma conta que já não é a mesma. Vamos seguir esse menos de perto, em vez de decorar que «passa para o outro lado e muda de sinal».
A conta parecia tranquila. Até aparecerem parênteses.
Tens 3 − 2(x − 4) = 11. Olhas para o menos, abres o parêntese e escreves 3 − 2x − 8 = 11. Parece uma passagem pequena, quase burocrática. Foi aqui que a conta mudou de problema.
O número que multiplica o parêntese não é 2, é −2. E multiplica tudo o que está lá dentro, o x e o −4. Por isso, (−2) × x = −2x e (−2) × (−4) = +8. A linha certa é 3 − 2x + 8 = 11.
O oito positivo não apareceu por simpatia. Veio do produto de dois números negativos, e esse produto é positivo. Quem escreve −8 multiplicou o −2 só pelo x e deixou o −4 com o sinal que já tinha.
A diferença não é um pormenor. Com a linha certa, 11 − 2x = 11 e x = 0. Com a linha errada, −5 − 2x = 11, logo −2x = 16 e x = −8. Um sinal trocado e a resposta anda oito unidades para o lado.
Experimenta, 20 segundosAntes de continuares: abre −4(x − 5) sem olhar para a resposta.Ver a resposta
Fica −4x + 20. O −4 multiplica o x e dá −4x; multiplica o −5 e dá +20, porque menos vezes menos dá mais. Se escreveste −4x − 20, o −4 só chegou ao primeiro termo.
O mesmo traço, três trabalhos diferentes
Parte da confusão vem de o mesmo traço fazer trabalhos diferentes. Em 7 − 3, o menos é uma operação: tira 3 a 7. Em −3, faz parte do número, que é negativo. E em −(x − 4), quer dizer «o oposto de tudo isto».
Em 3 − 2(x − 4), o menos pode ler-se de duas maneiras: subtrair 2(x − 4) a 3, ou somar a 3 o produto (−2)(x − 4). As duas dão o mesmo resultado, desde que sejas coerente. O problema começa quando se lê uma subtração e depois se esquece que ela se aplica ao parêntese inteiro.
Por isso ajuda escrever a distribuição por extenso antes de simplificar: 3 + (−2) × x + (−2) × (−4) = 11. Parece mais comprido. É mais comprido. Mas cada parcela fica com o seu sinal à vista e não há nada para adivinhar.
Não precisas de escrever assim para sempre. Precisas enquanto os sinais te escaparem. Quando deixares de errar, a linha extra desaparece sozinha, porque passas a fazê-la de cabeça.
O que diz a investigaçãoDe onde vem esta ideia, para quem quer saber mais
As Aprendizagens Essenciais de Matemática do 7.º ano pedem que se explorem expressões que mostrem a diferença entre o sinal «−» como parte de um número e como operação. As equações com parênteses chegam no 8.º ano, e é aí que as duas leituras se cruzam na mesma linha.
Joëlle Vlassis (2004) estudou alunos a resolver equações com números negativos e descreveu exatamente esta dificuldade: o sinal de menos tem vários significados, e os erros aparecem quando não se passa com flexibilidade de um significado para outro.
Qual é a solução de 5 − 3(x − 2) = 8?
No quadro, a Explica fica com o exercício escrito e espera que carregues em enviar. Há perguntas grátis para experimentar.
Troca a frase decorada por uma operação visível
«Passa para o outro lado e muda de sinal» é um atalho que funciona quando já sabes o que estás a fazer. Quando estás a aprender, esconde a operação que mantém a igualdade, e sem ela não sabes porque é que o sinal muda.
Pega na linha certa: 11 − 2x = 11. Subtrai 11 aos dois membros e ficas com −2x = 0. Depois divide os dois membros por −2 e obténs x = 0. Nada saltou de um lado para o outro. Fizeste a mesma operação em ambos e a igualdade continuou verdadeira.
Pensa na equação como uma balança equilibrada. O que tiras de um prato tens de tirar do outro. Visto assim, o «muda de sinal» deixa de ser magia: é o resultado de subtrair ou somar a mesma coisa dos dois lados.
No quadro, podes assinalar o fator e os dois termos que ele multiplica, e ligar cada produto ao termo que nasce dele. O desenho tem uma função: mostrar de onde veio cada parcela. Quando a conta falhar, sabes que ligação rever.
O que diz a investigaçãoDe onde vem esta ideia, para quem quer saber mais
Carolyn Kieran (1981) reuniu vários estudos que mostram que muitos alunos leem o sinal de igual como «agora escreve o resultado», e não como uma relação entre dois lados que têm de valer o mesmo. Regras como «passa para o outro lado» encaixam bem na primeira leitura e mal na segunda, que é a que a Álgebra precisa.
A resposta tem de passar pela porta de entrada
Volta à equação original e experimenta x = 0: 3 − 2(0 − 4) = 3 − 2 × (−4) = 3 + 8 = 11. A igualdade confirma-se.
Verifica sempre na equação de partida e não numa linha intermédia. Se tivesses trocado o sinal e chegado a x = −8, a verificação na linha errada dava certo: −5 − 2 × (−8) = −5 + 16 = 11. Só a equação original denuncia o erro: 3 − 2(−8 − 4) = 3 + 24 = 27, e não 11.
Quando a verificação falha, não recomeces do zero. Procura a primeira linha em que os dois lados deixaram de ser equivalentes. Quase sempre é uma passagem com um parêntese, um menos ou uma divisão.
Experimenta, 20 segundosResolve 7 − 2(x + 1) = 1 e confirma na equação de partida.Ver a resposta
7 − 2x − 2 = 1, porque (−2) × 1 = −2. Fica 5 − 2x = 1, logo −2x = −4 e x = 2. Confirmação: 7 − 2(2 + 1) = 7 − 6 = 1.
Agora tenta com o sinal do outro lado
Resolve 5 − 3(x − 2) = 8 sem saltar a distribuição. Primeiro escreve os dois produtos, depois simplifica e isola o x. No fim, substitui a tua solução na expressão inicial. É o desafio deste artigo, mais abaixo, com três respostas possíveis e uma pista se precisares.
Se ficares preso, pede ajuda sobre essa passagem e só essa: «Estou a multiplicar −3 por −2. Porque é que fica positivo?». É uma dúvida concreta, que se resolve em dois minutos e te deixa a fazer o resto sozinho.
E se o erro voltar na semana que vem, não faz mal. Os erros com sinais são teimosos e aparecem sobretudo quando estás cansado ou com pressa. O que muda é que agora sabes onde procurar.
Perguntas frequentes
Quanto dá menos vezes menos?
Dá mais: (−2) × (−4) = +8. Uma forma de o ver é pensar que multiplicar por um número negativo troca o sinal, e trocar o sinal de um número negativo dá um positivo. É por isso que −2(x − 4) dá −2x + 8.
Como se tira um parêntese com um sinal de menos antes?
Multiplica-se o número que está antes do parêntese, com o seu sinal, por cada termo lá dentro. Em −(x − 4), o fator é −1 e fica −x + 4. Em −2(x − 4), fica −2x + 8.
O que quer dizer «passar para o outro lado e trocar o sinal»?
É um atalho para fazer a mesma operação nos dois membros. Em 11 − 2x = 11, subtrair 11 aos dois lados dá −2x = 0. O resultado é o mesmo do atalho, mas fica claro porque é que a igualdade se mantém.
Como confirmo a solução de uma equação?
Substituis o valor encontrado na equação de partida e calculas os dois membros. Se derem o mesmo número, a solução serve. Faz isto na equação inicial e não numa linha intermédia, que pode já ter o erro lá dentro.
De onde vem o que dissemos
- Direção-Geral da Educação. (2021). Aprendizagens Essenciais: Articulação com o Perfil dos Alunos. Matemática, 7.º ano, 3.º ciclo do ensino básico.Pede a exploração de expressões que evidenciem a diferença entre o valor posicional e o operacional do sinal «−», e de expressões com parênteses e valores negativos (p. 20).
- Direção-Geral da Educação. (2021). Aprendizagens Essenciais: Articulação com o Perfil dos Alunos. Matemática, 8.º ano, 3.º ciclo do ensino básico.Inclui reconhecer e resolver equações do 1.º grau a uma incógnita com denominadores e parênteses (p. 24), o ano em que este erro mais aparece.
- Vlassis, J. (2004). Making sense of the minus sign or becoming flexible in «negativity». Learning and Instruction, 14(5), 469–484.Estudo sobre os vários significados do sinal de menos na resolução de equações com números negativos; usamos na secção sobre os três trabalhos do mesmo traço.
- Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12(3), 317–326.Revisão que mostra que muitos alunos leem o sinal de igual como uma ordem para calcular e não como equivalência; usamos para explicar porque «passa para o outro lado» engana.
No currículo: Matemática, 8.º ano. Equações do 1.º grau.
